Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC內(nèi)一點，且PA=1，PB=3，PC=

7

．請利用旋轉(zhuǎn)的方法
求：∠CPA的大�。�

Answer 1

分析：由于△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，則把△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得P′P=

2

PA=

2

，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC²+P′P²=P′C²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′進行計算即可．

解答：解：∵△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，
∴把△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，如圖，
∴∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，
∴△PAP′為等腰直角三角形，
∴P′P=

2

PA=

2

，∠APP′=45°，
在△P′PC中，P′C=3，P′P=

2

，PC=

7

，
∵（

7

）²+（

2

）²=3²，
∴PC²+P′P²=P′C²，
∴△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．