Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD中點，CE⊥AB于點E，設∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）當α=90°時，求CE的長；
（2）當60°＜α＜90°時
①是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．
②連接CF，當BE為何值時，CE²-CF²取最大值？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）判定平行四邊形ABCD是矩形后即可得到CE=CB=10；
（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，首先證得△AFG≌△CFD，得到CF=GF，AG=CD，再根據CE⊥AB，F是GC邊中點，得到EF=GF，從而得到∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF
②設BE=x，根據AG=CD=AB=5，得到EG=AE+AG=5-x+5=10-x，然后分別在Rt△BCE中得到CE²=BC²-BE²=100-x²和在Rt△CEG中得到CG²=EG²+CE²=（10-x）²+100-x²=200-20x．然后代入CE²-CF²=100-x²-50+5x=-x2+5x+50=-（x-2.5 ）²+50+（2.5）²．

解答：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當∠ABC=α=90°時，四邊形ABCD為矩形，
∵CE⊥AB，
∴點E與點B重合，
∴CE=CB=10；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：
連接CF并延長交BA的延長線于點G，
∵F為AD的中點，
∴AF=FD．
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF．
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）．
∴CF=GF，AG=CD．
∵CE⊥AB，F是GC邊中點，
∴EF=GF．∴∠AEF=∠G．
∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，
∴AG=5，AF=AD=BC=5．
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，
∴∠CFD=∠AEF．
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF．

（2）設BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE²=BC²-BE²=100-x²．
在Rt△CEG中，CG²=EG²+CE²=（10-x）²+100-x²=200-20x．
∵CF=GF（①中已證），
∴CF²=

CG2

4

=50-5x．
∴CE²-CF²=100-x²-50+5x=-x2+5x+50=-（x-2.5 ）²+50+（2.5）²．
∴當x=2.5，即點E是AB的中點時，CE²-CF²取最大值．

點評：本題考查了四邊形的綜合知識，解題的關鍵是了解特殊的四邊形的性質，題目中用到了方程的數學思想，是中考的熱點考點之一，應加強訓練，難度較大．