Question

3．（1）請在圖①中作兩條直線，使它們將正方形ABCD的面積三等分；
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，在圖②中過頂點A作兩條直線，使它們將矩形ABCD的面積三等分，井說明理由；
問題解決
（3）如圖③，農(nóng)博園有一塊不規(guī)則的五邊形ABCDE空地，其中AB∥CD、AE∥BC，AB=AC=100米，AE=160米，BC=120米，CD=62.5米，根據(jù)視覺效果和花期特點，農(nóng)博園設(shè)計部門想在這片空地種上等面積的三種不同的花，要求從入口A點處修兩條筆直的小路（小路的面積忽略不計）方便游客賞花，兩條小路將這塊地面積三等分．請通過計算畫圖說明其設(shè)計部們能否實現(xiàn)，若能實現(xiàn)請確定小路盡頭的位置．

Answer 1

分析 （1）分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H，作直線AF、AG即可；
（2）分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H，作直線AF、AG即可；
（3）作AF⊥BC于F，延長CD交AE于G，由等腰三角形的性質(zhì)得出BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=60米，由勾股定理求出AF，證明四邊形ABCG是平行四邊形，求出平行四邊形ABCG的面積，進一步求出五邊形ABCDE的面積=平行四邊形ABCG的面積+S_△DGE，得出三等分圖形的面積，再由三角形的面積關(guān)系得出點H、M是小路盡頭的位置，作出直線即可．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
分別取BC、AD的三等分點E、F、G、H，
作直線EG、FH，
即把正方形ABCD的面積三等分；
如圖1所示：
（2）在矩形ABCD中，
分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H，
作直線AF、AG，
即把正方形ABCD的面積三等分；
如圖2所示；
（3）作AF⊥BC于F，延長CD交AE于G，如圖3所示：
∵AB=AC，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=60米
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80（米），
∵AB∥CD、AE∥BC，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCG的面積=BC•AF=120×80=9600（平方米），
∴CG=AB=100米，AG=BC=120米，DG=CG-CD=100-62.5=37.5（米），GE=AE-AG=160-120=40（米），
∴$\frac{DG}{CD}$=$\frac{37.5}{62.5}$=$\frac{3}{5}$，
∵AF=80米，
∴根據(jù)平行線截得的線段成比例：△DGE的GE邊上的高為：30米，
∴S_△DGE=$\frac{1}{2}$×30×40=600（平方米），
五邊形ABCDE的面積=平行四邊形ABCG的面積+S_△DGE=9600+600=10200（平方米），
則三等分面積為3400平方米，
設(shè)在BC邊上截取點H，使△ABH的面積為3400平方米，
即$\frac{1}{2}$AF•BH=3400，$\frac{1}{2}$×80BH=3400，
解得：BH=85（米），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×120×80=4800（平方米），
∴S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH=4800-3400=1400（平方米），
∵S_△ACD=480×$\frac{5}{8}$=300（平方米），140+200=340（平方米），
∴在CD上取CD的第二個三等分點M，CM=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{125}{3}$（米），
∴直線AH、AM就可把五邊形面積三等分，
∴H、M點就是小路盡頭的位置．

點評 本題是面積及等積變換綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算等知識；本題有一定難度，特別是（3）中，證明平行四邊形進一步求出不規(guī)則的五邊形ABCDE的面積是解決問題的突破口．