Question

8．如圖，OM與OB是兩坐標(biāo)軸夾角的三等分線，點(diǎn)E是OM上一點(diǎn)，EC⊥x軸于C點(diǎn)，ED⊥OB于D點(diǎn)．（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）求證：OC=OD；
（3）試判斷OE與線段CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）要證∠ECD=∠EDC，只需證DE=EC，由角平分線的性質(zhì)可知：DE=EC是成立的；
（2）證明Rt△ODE≌Rt△OCE全等即可；
（3）由OD=OC，ED=EC可知OE垂直平分CD．

解答 （1）證明：∵EC⊥x軸于C點(diǎn)，ED⊥OB于D點(diǎn)，OE平分∠DOC，
∴DE=EC，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）解：在Rt△ODE和Rt△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC=OD；
（3）OE垂直平分CD．理由如下：
證明：∵OE為∠COD的平分線，且OC=OD
∴OE垂直平分CD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角表的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，屬于基礎(chǔ)題．