Question

【題目】已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動．

（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s），那么t＝　 　（s）時(shí)，△PBC是直角三角形；

（2）如圖2，若另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動，如果動點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

（3）如圖3，若另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動．連接PQ交AC于D．如果動點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形？

（4）如圖4，若另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．請你猜想：在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝1或2（s）；（3）t＝1（s）；（4）面積相等，理由見解析

【解析】

（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B＝60°，所以BP＝1.5cm，即可算出t的值；

（2）因?yàn)椤?/span>B＝60°，可選取∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BP長，即可算出t的大�。�

（3）因?yàn)椤?/span>DCQ＝120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD＝CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出t的值；

（4）面積相等．可通過同底等高驗(yàn)證．

解：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B＝60°，

∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，

所以t＝.

（2）當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BP＝0.5BQ，

3﹣t＝0.5t，所以t＝2；

當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，

3﹣t＝2t，所以t＝1；

所以t＝1或2（s）;

（3）因?yàn)椤?/span>DCQ＝120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD＝CQ，

所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，

又因?yàn)椤?/span>A＝60°，

所以AD＝2AP，2t+t＝3，

解得t＝1（s）；

（4）相等，如圖所示：

作PE⊥AD于E，QG⊥AD延長線于G，則PE∥QG，則易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°，

在△EAP和△GCQ中，

因?yàn)?/span>，

所以△EAP≌△GCQ（AAS），

所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面積相等．