Question

已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上．
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關系，并證明之；
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）關系是：AD+AB=AC（1分）
證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°（2分）
則AD=AB=AC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）（4分）
∴AD+AB=AC（5分）；

（2）仍成立．
證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F（6分）
∵AC平分∠MAN
∴CE=CF（角平分線上點到角兩邊距離相等）（7分）
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）
∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF（11分）
由（1）知AE+AF=AC（12分）
∴AD+AB=AC（13分）
分析：（1）得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以證得AD=AB=AC從而，證得結論；
（2）過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF，從而證得結論．
點評：本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定及性質、直角三角形的性質等知識，是一道比較好的綜合題．