Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE∥CA，CD=12，BD=15，求線段AE、BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,角平分線的性質(zhì),平行線分線段成比例

專題：

分析：利用已知條件易證AE=DE，因?yàn)镈E∥AC，所以可得到BE和AE的關(guān)系，即BE和DE的關(guān)系，設(shè)AE=4x，根據(jù)勾股定理可得BE²=DE²+BD²，求出x的值，進(jìn)而得到AE，BE的長(zhǎng)．

解答：解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE，
∵DE∥CA，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∵DE∥CA，
∴AE：BE=CD：BD=12：15=4：5，
設(shè)AE=4x
則DE=4x，BE=5x，
∵AC⊥BC，DE∥CA，
∴DE⊥BD，
由勾股定理得BE²=DE²+BD²，
所以25x²=16x²+225，
解得x=5，
∴AE=4×5=20，BE=5×5=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例定理得到AE和BE的數(shù)量關(guān)系．