Question

如圖，對于任意線段AB，可以構(gòu)造以AB為對角線的矩形ACBD．連接CD，與AB交于A₁點(diǎn)，過A₁作BC的垂線段A₁C₁，垂足為C₁；連接C₁D，與AB交于A₂點(diǎn)，過A₂作BC的垂線段A₂C₂，垂足為C₂；連接C₂D，與AB交于A₃點(diǎn)，過A₃作BC的垂線段A₃C₃，垂足為C₃…如此下去，可以依次得到點(diǎn)A₄，A₅，…，An．如果設(shè)AB的長為1，依次可求得A₁B，A₂B，A₃B…的長，則A_nB的長為（用n的代數(shù)式表示）（　�。�

• A、

  1

  n

• B、

  1

  2n

• C、

  1

  n+1

• D、

  1

  2n+1

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠DBC=90°，CA₁=

1

2

CD，AC=BD，AB=2A₁B，求出A₁B=

1

2

，證△CC₁A₁∽△CBD，推出

A1C1

BD

=

1

2

=

1

1+1

；同理求出A₂B=

2

3

A₁B=

1

3

=

1

2+1

；A₃B=

1

4

=

1

3+1

；A₄B=

1

5

=

1

4+1

，即可得出答案．

解答：解：∵四邊形ACBD是矩形，
∴∠DBC=90°，CA₁=

1

2

CD，AC=BD，AB=2A₁B，
∵AB=1，
∴A₁B=

1

2

，
∵A₁C₁⊥BC，
∴A₁C₁∥DB，
∴△CC₁A₁∽△CBD，
∴

A1C1

BD

=

CA

CD

=

1

2

=

1

1+1

；
∵A₁C₁∥BD，
∴△A₁C₁A₂∽△BDA₂，
∴

BA2

A 1A2

=

BD

A 1C1

=

2

1

，
∴A₂B=

2

3

A₁B=

2

3

×

1

2

=

1

3

=

1

2+1

；
同理A₃B=

1

4

=

1

3+1

；
A₄B=

1

5

=

1

4+1

，
…
A_nB=

1

n+1

，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，題目是一道比較典型的題目，有一定的難度．