Question

18．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，BD是⊙O的直徑．PA∥BC，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．連結(jié)AD．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，BC=4，求BD與AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理的推論可證明OA⊥BC，又因?yàn)镻A∥BC，所以AP⊥OA，即PA是⊙O的切線；
（2）設(shè)BC和OA相較于點(diǎn)M，由已知條件易求AB的長(zhǎng)，由圓周角定理定理可得△DAB是直角三角形，進(jìn)而可求出BD，AD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴AP⊥OA，
即PA是⊙O的切線；
（2）∵AC=BC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=4，OM⊥BC，
∴BM=2，
∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∵∠D=∠ACB，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓周角定理以及其推論的運(yùn)用、垂徑定理以及其推論的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用，銳角三角的函數(shù)的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考試題．