Question

已知在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，P是AC上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)D是AB的中點(diǎn)，若

AP

PC

=2，證明：BP=4PQ；
（2）當(dāng)D是AB的中點(diǎn)，若

AP

PC

=m，猜想BP與PQ之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如果D是AB上任一點(diǎn)，P是AC上任一點(diǎn)，若

AD

DB

=n，

AP

PC

=m，猜想BP與PQ之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例,三角形中位線(xiàn)定理

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)D作DE∥BP交AP于點(diǎn)E，則利用條件可知PQ是△CDE的中位線(xiàn)，DE是△ABP的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)定理可證得結(jié)論；
（2）過(guò)D作DE∥BP交AP于點(diǎn)E，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)成比例的性質(zhì)可得DE=

m+2

2

PQ，BP=2DE，可得到其關(guān)系；
（3）過(guò)D作DE∥BP，找到BP和DE的關(guān)系及DE和PQ的關(guān)系可得到結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)D作DE∥BP交AP于點(diǎn)E，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴E為AP中點(diǎn)，
∵

AP

PC

=2，
∴AE=PE=PC，
∴PQ是△CDE的中位線(xiàn)，DE是△ABP的中位線(xiàn)，
∴BP=2DE=4PQ；
（2）關(guān)系式為：BP=（m+2）PQ，
證明如下：如圖2，過(guò)D作DE∥BP交AP于點(diǎn)E，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴E是AP中點(diǎn)，
∴BP=2DE，AP=2PE，
∵

AP

PC

=m，
∴AP=mPC，
∴PE=

m

2

PC，
∴CE=

m+2

2

PC，
∵

PQ

DE

=

PC

CE

，
∴DE=

m+2

2

PQ，
∴BP=2DE=（m+2）PQ；
（3）證明如下：
如圖3，過(guò)D作DE∥BP，交AC于點(diǎn)E，
∵

AD

DB

=n，
∴

AD

AB

=

n

n+1

=

DE

BP

，
∴BP=

n+1

n

DE，
∵

AE

PE

=

AD

BD

=n，
∴AE=nPE，
∴AP=（n+1）PE，
∵

AP

PC

=m，
∴AP=mPC，
∴PE=

m

n+1

PC，
∴CE=PE+PC=

m+n+1

n+1

PC，
∴

PQ

DE

=

PC

CE

=

n+1

m+n+1

，
∴DE=

m+n+1

n+1

PQ，
∴BP=

m+n+1

n

PQ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，利用條件找到BP和DE、PQ和DE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意比例性質(zhì)的應(yīng)用．