Question

（2013•廊坊一模）圓的滾動問題探索：
（1）如圖1，一個半徑為r的圓沿直線方向從A地滾動到B地，若AB的長為m，則該圓在滾動過程中自轉了

m

2πr

圈．（用含的式子表示）
試驗：
現(xiàn)有兩個半徑相等的圓（如圖5），將⊙O₂固定，⊙O₁沿定圓的周圍滾動，滾動時兩圓保持相外切的位置關系．當⊙O₁沿⊙O₂周圍滾動一周回到原來的位置時，⊙O₁自轉了2圈，而⊙O₁的圓心運動的線路也是一個圓，而這個圓的周長恰好是⊙O₁的周長的2倍．
（2）如圖2，⊙O₁的半徑為r，⊙O₂的半徑為R（R＞r），現(xiàn)將⊙O₂固定，讓，⊙O₁沿⊙O₂的周圍滾動，滾動時兩圓保持相外切的位置關系．當⊙O₁沿⊙O₂沿周圍滾動一周回到原來的位置時，⊙O₁自轉了

R+r

r

圈；

（3）如圖3，⊙O₁，和⊙O₂內切，⊙O₁的半徑為r，⊙O₂的半徑為R（R＞r），現(xiàn)將⊙O₂固定，讓，⊙O₁沿⊙O₂的邊緣滾動，動時兩圓保持相內切的位置關系．當⊙O₁沿⊙O₂邊緣滾動一圈回到原來的位置時，⊙O₁自轉了

R-r

r

圈．
解決問題：
如圖4，一個等邊三角形與它的一邊相切的圓的周長相等，當此圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無滑動滾動，直至回到原來的位置時，該圓自轉了多少圈？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓運動的距離除以圓的周長即可得出答案；
（2）利用⊙O₁運動的距離除以⊙O₁的周長即可得出答案；
（3）利用⊙O₁運動的距離除以⊙O₁的周長即可得出答案；
解決問題：根據(jù)直線與圓相切的性質得到圓從一邊轉到另一邊時，圓心要繞其三角形的頂點旋轉120°，則圓繞三個頂點共旋轉了360°，即它轉了一圈，再加上在三邊作無滑動滾動時要轉三圈，這樣得到它回到原出發(fā)位置時共轉了4圈．

解答：解：（1）如圖1，一個半徑為r的圓沿直線方向從A地滾動到B地，若AB的長為m，
則該圓在滾動過程中自轉了：

m

2πr

（圈）；
故答案為：

m

2πr

；

（2）∵讓⊙O₁沿⊙O₂的周圍滾動，滾動時兩圓保持相外切的位置關系，⊙O₁沿⊙O₂沿周圍滾動一周回到原來的位置，
∴⊙O₁滾動的路程為：2π（r+R），
∴⊙O₁自轉了

2π(R+r)

2πr

=

R+r

r

（圈）；
故答案為：

R+r

r

；

（3）∵讓⊙O₁沿⊙O₂的邊緣滾動，動時兩圓保持相內切的位置關系，⊙O₁沿⊙O₂沿周圍滾動一周回到原來的位置，
∴⊙O₁滾動的路程為：2π（R-r），
∴⊙O₁自轉了

2π(R-r)

2πr

=

R-r

r

（圈）；
故答案為：

R-r

r

；

解決問題：4圈；
理由：由圓在AB、BC、CA三邊作無滑動滾動時，
∵等邊三角形的邊長與和圓的周長相等，
∴圓轉了3圈，
而圓從一邊轉到另一邊時，圓心繞三角形的一個頂點旋轉了三角形的一個外角的度數(shù)，
圓心要繞其三角形的頂點旋轉120°，
∴圓繞三個頂點共旋轉了360°，即它轉了一圈，
∴此圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無滑動滾動，直至回到原來的位置時，該圓自轉了4圈．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用，利用圓運動的距離除以圓的周長得出是解題關鍵．