Question

16．工人師傅用8米長(zhǎng)的鋁合金材料制作一個(gè)如圖所示的矩形窗框，圖中的①、②、③區(qū)域都是矩形，且BE=2AE，M，N分別是AD、EF的中點(diǎn)．（說(shuō)明：圖中黑線部分均需要使用鋁合金材料制作，鋁合金材料寬度忽略不計(jì)）．
（1）當(dāng)矩形窗框ABCD的透光面積是2.25平方米時(shí)，求AE的長(zhǎng)度．
（2）當(dāng)AE為多長(zhǎng)時(shí)，矩形窗框ABCD的透光面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)AE=x米，根據(jù)已知條件表示出BC和AB的長(zhǎng)，根據(jù)AB×BC=矩形面積2.25列出方程，解方程可得；
（2）先由長(zhǎng)×寬=矩形面積得到函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)公式可得函數(shù)最大值．

解答 解：（1）∵①、②、③號(hào)區(qū)域都是矩形，且BE=2AE，設(shè)AE=x米，
∴AE=MN=DF=x米，BE=CF=2x米，
∴BC=$\frac{8-7x}{3}$，
∴$\frac{8-7x}{3}$•3x=2.25，解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{9}{14}$，
∴AE的長(zhǎng)度是$\frac{1}{2}$米或$\frac{9}{14}$米；
（2）設(shè)矩形ABCD的面積是y平方米，
則y=3x•$\frac{8-7x}{3}$=-7x²+8x，
當(dāng)x=-$\frac{2a}$=$\frac{4}{7}$時(shí)，y_最大=$\frac{4}{7}$×4=$\frac{16}{7}$，
答：當(dāng)AE為$\frac{4}{7}$時(shí)，矩形窗框ABCD的透光面積最大，最大面積是$\frac{16}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，表示出所需長(zhǎng)度是解題基礎(chǔ)，列出方程和函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．