Question

已知x₁，x₂，x₃，…，x₁₀都是正整數(shù)，x₁+x₂+…+x₁₀=x₁x₂…x₁₀，且其中一個取得最大值，則x₁+x₂+…+x₁₀的值等于（　　）

• A、19
• B、20
• C、21
• D、22

Answer 1

考點：整數(shù)問題的綜合運用

專題：

分析：根據(jù)題意設x₁≤x₂≤…≤x₁₀，然后分別從x₁=x₂=…=x₉=1，最大數(shù)為x₁₀，則得出方程9+x₁₀=x₁₀，逐步減少1的個數(shù)，增加大于等于2的數(shù)的個數(shù)，假設出最大數(shù)為x₁₀，建立關于x₁₀的方程，求出x₁₀并逐步驗證得出答案即可．

解答：解：∵x₁，x₂，x₃，…，x₁₀都是正整數(shù)，
設x₁≤x₂≤…≤x₁₀，
①若x₁=x₂=…=x₉=1，則9+x₁₀=x₁₀，此時是解；
②所以至少有兩個數(shù)大于等于2，x₉=2，x₁₀最大，則8+2+x₁₀=2x₁₀，
解得x₁₀=10，
x₁+x₂+…+x₁₀=1+1+1+…+2+10=20=x₁x₂…x₁₀，
成立，所以x₁₀最大為10，則x₁+x₂+…+x₁₀=20．
③如果至少有三個數(shù)大于等于2，x₈=2，x₉=2，x₁₀最大，
則7+2+2+x₁₀=4x₁₀，
無解；
或x₈=2，x₉=3，x₁₀最大，
則7+2+3+x₁₀=4x₁₀，
解得x₁₀=4；
驗證是不成立的，由此可以看出，當大于等于2的數(shù)多于或等于3個時，最大的數(shù)會越來越小，絕對不或超過10．
綜上所知，當x₁=x₂=…=x₈=1，x₉=2，x₁₀最大為10的時候成立，
所以x₁+x₂+…+x₁₀=20．
故選：B．

點評：此題屬于整數(shù)的綜合運用題．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．