Question

如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長為1．
（1）證明：四邊形MPBG是平行四邊形；
（2）設(shè)BE=x，四邊形MNBG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）如果按題設(shè)作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,平行線的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）分別證得DB∥ME和MN∥CB后利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形BEFG，從而可得CM=1-x，然后得y=

1

2

（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四邊形BGMP是平行四邊形，要使四邊形BGMP是菱形則BG=MG，可得x=

2

（1-x），解得x即可．

解答：證明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形
∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，
∴DB∥ME（同位角相等，兩直線平行）．
∵M(jìn)N⊥AB，CB⊥AB，
∴MN∥CB．
∴四邊形MPBG是平行四邊形；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x．
∵∠CMG=∠BEG=45°，
∴CG=CM=BN=1-x．
∴y=

1

2

（GB+MN）•BN=

1

2

（1+x）（1-x）=

1

2

-

1

2

x²（0＜x＜1）；

（3）∵四邊形BGMP是菱形，
∴BG=MG，
∴x=

2

（1-x），
∴x=2-

2

，
∴BE=2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形的綜合知識(shí)，較復(fù)雜，但充分利用題目所給的條件，根據(jù)四邊形性質(zhì)列出方程即可解答．解答此題，不要局限于一種方法，可以多試幾種方法，以提高解題的“含金量”．