Question

如圖，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用拋物線解析式可以求得點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，則易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°．利用直角等腰直角三角形的性質(zhì)和圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得BC=4

2

，BE=BC-CE=

5

2

2

．由正切三角函數(shù)定義知tan∠DBC=

DE

BE

=

3

5

；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，易得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的結(jié)果得到：tan∠PBF=

3

5

．設(shè)P（x，-x²+3x+4），則利用銳角三角函數(shù)定義推知

-x2+3x+4

4-x

=

3

5

，通過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

2

5

，

66

25

）．

解答：解：（1）令y=0，則-x²+3x+4=-（x+1）（x-4）=0，
解得 x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0），B（4，0）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-3²+3×3+4=4，
∴D（3，4）．
如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．
∵C（0，4），
∴CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC=45°．
在直角△OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4

2

．
在直角△CDE中，CD=3．
∴CE=ED=

3

2

2

，
∴BE=BC-CE=

5

2

2

．
∴tan∠DBC=

DE

BE

=

3

5

；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．
∵∠CBF=∠DBP=45°，
∴∠PBF=∠DBC，
∴tan∠PBF=

3

5

．
設(shè)P（x，-x²+3x+4），則

-x2+3x+4

4-x

=

3

5

，
解得 x₁=-

2

5

，x₂=4（舍去），
∴P（-

2

5

，

66

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合型題目，其中涉及到了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．