Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，點E在邊BC上，點F在對角線AC上，且∠DFC=∠AEB．
（1）求證：AD•CE=AF•AC；
（2）當點E、F分別是邊BC、AC的中點時，求證：AB⊥AC．

Answer 1

考點：直角梯形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠DAC=∠ACB，∠DFA=∠AEC，根據(jù)相似三角形的判定定理推出△ADF∽△CAE，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出AC=2AF，BC=2CE，根據(jù)AD•CE=AF•AC得出AD•BC=AC•AC，證△ADC∽△CAB，推出∠ADC=∠CAB即可．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DFC=∠AEB，
∴∠DFA=∠AEC，
∴△ADF∽△CAE，
∴

AD

AC

=

AF

CE

，
∴AD•CE=AF•AC．

（2）解：∵點E、F分別是邊BC、AC的中點，
∴AC=2AF，BC=2CE，
又∵AD•CE=AF•AC，
∴AD•2CE=2AF•AC，即：AD•BC=AC•AC，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，
又∵∠DAC=∠ACB，
∴△ADC∽△CAB，
∴∠ADC=∠CAB，
又∵∠ADC=90°，
∴∠CAB=90°，
∴AB⊥AC．

點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)的應用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．