Question

【題目】一個正整數，由N個數字組成，若它的第一位數可以被1整除，它的前兩位數可以被2整除，前三位數可以被3整除，…，一直到前N位數可以被N整除，則這樣的數叫做“精巧數”．如：123的第一位數“1”可以被1整除，前兩位數“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123是一個“精巧數”．

（1）若四位數是一個“精巧數”，求k的值；

（2）若一個三位“精巧數”各位數字之和為一個完全平方數，請求出所有滿足條件的三位“精巧數”．

Answer 1

【答案】（1）2或6；（2）207，225，243，261．

【解析】

（1）由四位數 是一個“精巧數”，可得1230+k是4的倍數；即可得1230+k=4n，繼而可求得答案； （2）由是“精巧數”，可得a為偶數，且2+a+b是3的倍數，且2+a+b<30，又由各位數字之和為一個完全平方數，可得2+a+b=3=9，繼而求得答案．

本題解析：

解：（1）∵四位數是一個“精巧數”，

∴1230+k是4的倍數；

即1230+k=4n，

當n=308時，k=2；

當n=309時，k=6，

∴k=2或6；

（2）∵是“精巧數”，

∴a為偶數，且2+a+b是3的倍數，

∵a＜10，b＜10，

∴2+a+b＜30，

∵各位數字之和為一個完全平方數，

∴2+a+b=32=9，

∴當a=0時，b=7，

當a=2時，b=5，

當a=4時，b=3，

當a=6時，b=1，

∴所有滿足條件的三位“精巧數”有：207，225，243，261．