Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
（1）把△ABC沿底邊BC折疊，得到△DBC，則四邊形ABDC是什么四邊形，為什么？
（2）把△ABC沿腰AB折疊，得到△AEB，對(duì)于四邊形CAEB，（1）中結(jié)論成立嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等、折疊的性質(zhì)推知四邊形的對(duì)邊AB=CD且AB∥CD，即四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用折疊的對(duì)應(yīng)邊相等可以推知鄰邊相等的平行四邊形ABCD是菱形‘
（2）（1）中的結(jié)論不一定成立．假設(shè)四邊形AEBC是菱形，那么BC=AC，而AB=AC，則三角形ABC是等邊三角形與已知條件不符．
解答：解：（1）∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）；
又∵由反折的性質(zhì)知，∠ACB=∠DCB，
∴∠ABC=DCB（等量代換），
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；
又∵AC=AB=CD，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形），
∴?ABCD是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（2）（1）中的結(jié)論不一定成立，即四邊形CAEB不一定是菱形．
理由：假設(shè)四邊形CAEB是菱形．則AC=BC；
∵AB=AC（已知），
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
∴當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，四邊形CABE是菱形；
當(dāng)?shù)妊�△ABC的腰與底邊不相等時(shí)，四邊形CAEB不是菱形，
∴四邊形CAEB不一定是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）．翻折的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．