Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．

（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；

②若CD＝2，AB＝4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②．

【解析】

（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可；

（2）①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng).

（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示，

（2）延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F，

∵CD∥AF，

∴∠CDE＝∠F，

∵∠CDE＝∠ADE，

∴∠ADF＝∠F，

∴AD＝AF，

∵AD＝AB+CD＝AB+BF，

∴CD＝BF，

∵∠DEC＝∠BEF，

∴△DEC≌△FEB，

∴DE＝EF，

∵AD＝AF，

∴AE⊥DE；

②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK，

∵AD＝AF，DE＝EF，

∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，

∴AK＝AB＝4，

在Rt△ADG中，DG，

∵KH∥DG，

∴，

∴，

∴KH，

∵MB＝MK，

∴MB+MN＝KM+MN，

∴當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)，∴BM+MN的最小值為．