Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=3，以AC為邊向外作等邊△ACD，BD=5．求BC長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，由三角形ABE與三角形ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EAC與三角形BAD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EC=BD=5，再由∠EBA+∠ABC=∠EBC，得到三角形EBC為直角三角形，利用勾股定理求出BC的長即可．

解答：解：以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，
∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC=5，
∵∠EBA=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，EC=5，EB=3，
根據(jù)勾股定理得：BC=

52-32

=4．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．