Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于C，tan∠CAB=3；雙曲線$y=\frac{k}{x}$（k≠0）經(jīng)過(guò)拋物線y=ax²+bx+3的頂點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線和雙曲線的解析式．
（2）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限，連接BP、CP，求當(dāng)四邊形ABPC取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最大值．
（3）若在此拋物線和雙曲線上存在點(diǎn)Q，使得QB=QC，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式可求得C（0，3），由銳角三角函數(shù)的定義可知OA=1從而得到A（-1，0）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得到B（3，0），從而可求得拋物線的解析式，然后可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，故此可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，交BC于點(diǎn)E．先求得直線BC的解析式為y=-x+3．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+3）．故此PE=-x²+3x，故此可求得S_{四邊形ABPC}=$-\frac{3}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{75}{8}$，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值；
（3）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．由等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)Q在OE上，然后先求得直線OE的解析式為y=x，然后求得y=x與拋物線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵令x=0得：y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴OC=3．
∵tan∠CAB=3，
∴$\frac{OC}{OA}=3$，即$\frac{3}{OA}=3$．
∴OA=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
將x=1代入得：y=-1+2+3=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
將（1，4）代入反比例函數(shù)的解析式得：4=$\frac{k}{1}$，解得：=4．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
（2）如圖1所示：連接BC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，交BC于點(diǎn)E．

∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC$=$\frac{1}{2}×4×3$=6．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將（3，0）、（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+3）．
∴PE=-x²+3x．
∴${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}PE•OB$=$\frac{1}{2}×3×（-{x}^{2}+3x）$=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{9}{2}x$．
∴S_{四邊形ABPC}=$-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{9}{2}x+6$=$-\frac{3}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{75}{8}$．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$．
將x=$\frac{3}{2}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）如圖2所示：連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．

∵QB=QC，
∴點(diǎn)Q在BC的垂直平分線上．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴EC=BE．
∴OE是BC的垂直平分線．
∴點(diǎn)Q在BC上．
∵OE⊥BC，
∴直線OE的解析式為y=x．
將y=x與y=$\frac{4}{x}$聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）或（-2，-2）．
將y=x與y=-x²+2x+3聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）或（-2，-2）或（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值，線段垂直平分線的性質(zhì)，解方程組，根據(jù)二次函數(shù)和直線BC的解析式求得PE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．