Question

點(diǎn)A（4，m），B（n，-3）在直線y=x-5上．
（1）試求點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）若一拋物線過A，B且以y軸為對稱軸，求該拋物線解析式；
（3）現(xiàn)有一開口向下，形狀與（2）中拋物線相同的新拋物線沿x軸水平移動，交x軸于C，D兩點(diǎn)（C左D右），且CD=3．試求當(dāng)四邊形ABCD周長最小時的新拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把A，B坐標(biāo)代入直線解析式即可；
（2）設(shè)出函數(shù)解析式，把A、B坐標(biāo)代入；
（3）易得新拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)與原拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)．四邊形ABCD的周長最小，應(yīng)把已知的一個點(diǎn)平移3個單位，作出另一的點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接兩個新點(diǎn)得到D坐標(biāo)，進(jìn)而求得C坐標(biāo)，代入所設(shè)的兩個函數(shù)解析式即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（4，m），B（n，-3）在直線y=x-5上，
∴m=4-5=-1，n=-3+5=2，
A（4，-1），B（2，-3）．

（2）設(shè)所求函數(shù)解析式為y=ax²+k，
那么-1=16a+k，
-3=4a+k，
解得a=

1

6

，b=-

11

3

，
∴y=

1

6

x2-

11

3

．

（3）點(diǎn)B向右平移3個單位得E（5，3），作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F（4，1），直線EF與x軸的交點(diǎn)即D(

17

4

，0)，
再得C為(

5

4

，0)．
設(shè)y=-

1

6

x²+bx+c，
把C，D坐標(biāo)代入，
可得y=-

1

6

x2+

11

12

x-

85

96

．

點(diǎn)評：以y軸為對稱軸的函數(shù)解析式為y=ax²+k兩個函數(shù)的形狀相同，開口方向不同，這兩個函數(shù)二次項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)；
求路線最短問題，應(yīng)想到做其中一點(diǎn)的關(guān)于另兩點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)．