分析 設(shè)CE=4k,則CF=3k,由矩形的性質(zhì)和勾股定理得出EF=5k,∠BAF+∠AFB=90°,由折疊的性質(zhì)得:∠AFE=∠ADC=90°,DE=EF=5k,AD=AF,AB=CD=9k,證出∠BAF=∠EFC,由三角函數(shù)得出BF=12k,由勾股定理得出AD=AF=15k,在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出k=1,得出CD=9,CF=3,再由勾股定理求出DF即可.
解答 解:∵tan∠EFC=CECF=43,
設(shè)CE=4k,則CF=3k,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ADC=∠B=∠C=90°,
∴EF=√CE2+CF2=5k,∠BAF+∠AFB=90°,
由折疊的性質(zhì)得:∠AFE=∠ADC=90°,DE=EF=5k,AD=AF,
∴AB=CD=9k,∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠BAF=∠EFC,
∴tan∠BAF=BFAB=43,
∴BF=12k,
∴AD=AF=√AB2+BF2=15k,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,AE=5√10,
∴(15k)2+(5k)2=(5√10)2,
解得:k=1,
∴CD=9,CF=3,
∴DF=√CF2+CD2=√32+92=3√10;
故答案為:3√10.
點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的運(yùn)用;熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì),由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵.
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