Question

6．發(fā)現：
（1）若干平面上三點能夠確定一個圓，那么這三點所滿足的條件是三點不在同一條直線上．
（2）我們判斷四個點A，B，C，D（任意其中個三點不共線）是否在同一圓上時，一般地，先作過A，B，C三點的圓，然后判斷點D是否在這個圓上，如果在，則這四個點共圓，如果不在，則不存在同時過這四個點的圓．
思考：
（1）如圖1，∠ACB=∠ADB=90°，那么點A，B，C，D四點在（填“在”或“不在”）同一個圓上；
（2）如圖2，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°），（點C，D在AB的同側），那么點D還在經過A，B，C三點的圓上嗎？芳芳已經證明了點D不在圓內（如圖所示），只要能夠證明點D也不再圓外，就可以判斷點D一定在圓上了，請你完成證明過程．
芳芳的證明過程：
如圖3，過A，B，C三點作圓，圓心為O．假設點D在⊙O內，設AD的延長線交⊙O于點P，連接BP．易得∠APB=∠ACB．又由∠ADB是△BPD的外交，得到∠ADB＞∠APB，因此∠ADB＞∠ACB，這個結論與條件中的∠ACB=∠ADB矛盾，所以點D不在圓內．
應用：
如圖4，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，∠CAD=∠CBD=90°，點P在CA的延長線上，連接DP．若∠ADP=∠ABD．求證：DP為Rt△ACD的外接圓的切線．

Answer 1

分析 發(fā)現：（1）根據不在同一條直線上的三點能夠確定一個圓即可得到結論；
思考：（1）根據∠ACB=∠ADB=90°，即可得到結論；
（2）如圖①，假設點D在⊙O外，設AD交⊙O于點E，連接BE，根據圓周角定理得到∠AEB=∠ACB，根據外角的性質得到∠AEB＞∠D于是得到這個結論與條件中的∠ACB=ADB矛盾，即可得到結論；
應用：由∠CAD=∠CBD=90°，推出A，B，C，D四點在以CD為直徑的同一個圓上，根據圓周角定理得到∠ACD=∠ABD，推出∠ACD=∠ADP，由于∠ACD+∠ADC=90°，等量代換得到∠ADC+∠ADP=90°，即可得到結論．

解答 解：發(fā)現：（1）若平面上三點能夠確定一個圓，那么這三點所滿足的條件是三點不在同一條直線上，
故答案為：三點不在同一條直線上；

思考：（1）∠ACB=∠ADB=90°，那么點A，B，C，D四點在同一個圓上，
故答案為：在；
（2）如圖①，假設點D在⊙O外，設AD交⊙O于點E，連接BE，易得∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＞∠D，∵∠ACB=∠AEB，∴∠ACB＞∠ADB，這個結論與條件中的∠ACB=∠ADB矛盾，∴點D不在圓外，
∴D一定在圓上；

應用：∵∠CAD=∠CBD=90°，
∴A，B，C，D四點在以CD為直徑的同一個圓上，
∴∠ACD=∠ABD，
∵∠ABD=∠ADP，
∴∠ACD=∠ADP，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴DP為Rt△ACD的外接圓的切線．

點評 本題考查的是點與圓的位置關系、圓周角定理以及反證法的應用，掌握反證法的一般步驟、同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．