Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（-6，0）、B（0，-8）兩點(diǎn)．
（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在⊙M上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）首先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在圓上且與y軸平行即可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（3）三角形ABC的面積為15，所以假設(shè)三角形PDE的面積為1，因?yàn)镈E長為2，所以P到DE的距離為1，則P的坐標(biāo)是（x，1），代入拋物線解析式即可求解．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

-6k+b=0 b=-8

，
解得

k=- 4 3 b=-8

，
所以直線AB的解析式y(tǒng)=-

4

3

x-8；

（2）設(shè)拋物線的方程y=ax²+bx+c，
∵A（-6，0）、B（0，-8），
∴AB=10，
∴⊙M的半徑為5，
∴M（-3，-4），
∵由函數(shù)圖象可知拋物線的頂點(diǎn)在圓上，函數(shù)圖象的對稱軸與y軸平行，
∴拋物線的頂點(diǎn)C（-3，1），
且因拋物線的點(diǎn)對稱性有一點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于拋物線的軸對稱為F（-6，-8），
由三點(diǎn)代入拋物線方程的a=-1，b=-6，c=-8．
所以y=-x²-6x-8；

（3）連接AC，BC，
根據(jù)（2）得：B（0，-8），
直線BC的解析式為：y=-3x-8，
∴點(diǎn)K（-

8

3

，0），
∴AK=6-

8

3

=

10

3

，
∴S_△ABC=S_△AKC+S_△ABK=

1

2

×

10

3

×1+

1

2

×

10

3

×8=15，
所以假設(shè)三角形PDE的面積為1，因?yàn)镈E長為2，
所以P到DE的距離為1．
當(dāng)y=1時(shí)，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
當(dāng)y=-1時(shí)，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+

2

，x₂=-3-

2

，
∴P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．
綜上所述，這樣的P點(diǎn)存在，
且有三個(gè)，P₁（-3，1），P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求直線和拋物線的解析式，正確求得拋物線的解析式是解決本題的關(guān)鍵．