Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC交AC于F．
（1）求證：AE=AG；
（2）若AD=8，BD=6，求AE的長．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，從而得到∠3=∠4，再根據(jù)對頂角相等可得∠4=∠5，然后求出∠3=∠5，最后根據(jù)等角對等邊證明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再設(shè)AE=AG=x，表示出DE=8-x，再根據(jù)△ABG和△DBE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：（1）證明：∵BG平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5（對頂角相等），
∴∠3=∠5，
∴AE=AG；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=

AD2+BD2

=

82+62

=10，
設(shè)AE=AG=x，
則DE=AD-AE=8-x，
∵∠1=∠2，∠BAG=∠BDE=90°，
∴△ABG∽△DBE，
∴

DE

AG

=

BD

AB

，
即

8-x

x

=

6

10

，
解得x=5，
故AE=5．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（2）確定并證明三角形相似．