Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P沿線段OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為

3

單位/秒；點(diǎn)Q沿線段OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)以PQ為直徑的圓與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,解一元一次不等式組,勾股定理,直線與圓的位置關(guān)系,平行線分線段成比例,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：以PQ為直徑作⊙M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，易得QD∥MH∥PC，MQ=MP．根據(jù)平行線分線段成比例得CH=DH，再根據(jù)梯形的中位線定理可得MH=

1

2

（QD+PC）．然后利用三角函數(shù)將DQ、PC用t的代數(shù)式表示，進(jìn)而用t的代數(shù)式表示出MH，由⊙M與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)可得MH＜

1

2

PQ，從而得到t的一個(gè)范圍，再由其中一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止可得t的又一個(gè)取值范圍，就可解決問(wèn)題．

解答：解：以PQ為直徑作⊙M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，
過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，如圖所示．
則有QD∥MH∥PC，MQ=MP．
根據(jù)平行線分線段成比例得：CH=DH．
由梯形中位線定理可得：MH=

1

2

（QD+PC）．
由題可得：OA=4，OB=3，OP=

3

t，OQ=t．
則有BQ=3-t，AP=4-

3

t．
∵∠AOB=90°，∴AB=5，PQ=

t2+3t2

=2t．
由sin∠OBA=

OA

AB

=

QD

BQ

得：QD=

4

5

（3-t）=

12-4t

5

．
由sin∠OAB=

PC

PA

=

OB

AB

得：PC=

3

5

（4-

3

t）=

12-3 3 t

5

．
∴MH=

1

2

（

12-4t

5

+

12-3 3 t

5

）=

24-(4+3 3 )t

10

．
由⊙M與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)可得：MH＜

1

2

PQ．
則有

24-(4+3 3 )t

10

＜t．
解得：t＞

336-72 3

169

．
由其中一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止可得：

3 t≤4 t≤3

．
解得：t≤

4 3

3

．
∴t的取值范圍是

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．
故答案為：

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、平行線分線段成比例、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、解不等式組等知識(shí)，而利用梯形中位線定理表示出圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．