Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0），OB=OC．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CO以5個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H，設(shè)△HBP的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PM∥CB交線段AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MR⊥OC，垂足為R，線段MR分別交直線PH、OB于點(diǎn)E、G，點(diǎn)F為線段PM的中點(diǎn)，連接EF，當(dāng)t為何值時(shí)，

EF

EG

=

5

2

？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BN⊥OC，則四邊形ABNO是矩形，BN=AO=8，AB=ON，由勾股定理可求得NB的長；
（2）可證△BON∽△POH，有

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

，由題意知OP=10-5t，OH=6-3tPH=8-4t，BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，從而求得S的表達(dá)式，由于OC=10，故0≤t＜2；
（3）分兩種情況分析：①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E上方時(shí)，如圖2過點(diǎn)B作BN′⊥OC，垂足為N′，先得到四邊形BMPC是平行四邊形，有PM=BC=4

5

，BM=PC=5t，證得∠OPD=∠ODP，由同角的余角相等得到∠RMP=∠DPH，有EM=EP，由于點(diǎn)F為PM的中點(diǎn)，則EF⊥PM，得到∠EMF=∠PMR，∠EFM=∠PRM=90°，有△MEF∽△MPR，有

ME

MP

=

MF

MR

=

EF

PR

，由條件可得ME=5，EF=

5

，根據(jù)題意知

EF

EG

=

5

2

，有EG=2，MG=EM-EG=5-2=3，又可證得△MGB∽△N′BO，有

MG

N′B

=

MB

N′O

，得BM=

9

4

，從而求得t的值；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E下方時(shí)，如圖3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7，有BM=5t=

21

4

，可得t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BN⊥OC，垂足為N
由題意知OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=

OB2-BN2

=6，
∴B（6，8）

（2）如圖1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH，
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

∵PC=5t，
∴OP=10-5t
∴OH=6-3t，PH=8-4t
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16（0≤t＜2）

（3）①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E上方時(shí)，
如圖2過點(diǎn)B作BN′⊥OC，垂足為N′
BN′=8，CN′=4
∴CB=

BN2+CN2

=4

5

∵BM∥PC，BC∥PM
∴四邊形BMPC是平行四邊形
∴PM=BC=4

5

，BM=PC=5t
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥CB，
∴∠OPD=∠OCB，∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°，∠ODP+∠DPH=90°
∴∠RMP=∠DPH
∴EM=EP
∵點(diǎn)F為PM的中點(diǎn)，
∴EF⊥PM
∵∠EFM=∠PRM，∠EMF=∠PMR，
∴△MEF∽△MPR，
∴

ME

MP

=

MF

MR

=

EF

PR

，其中MF=

PM

2

=2

5

MR=8，PR=

PM2-MR2

=4
∴ME=5，EF=

5

∵

EF

EG

=

5

2

，
∴EG=2
∴MG=EM-EG=5-2=3
∵AB∥OC
∴∠MBG=∠BON′
又∵∠GMB=∠ON′B=90°
∴△MGB∽△N′BO
∴

MG

N′B

=

MB

N′O

，
∴BM=

9

4

∴5t=

9

4

∴t=

9

20

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E下方時(shí)，如圖3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7
∴BM=5t=

21

4

，
∴t=

21

20

∴當(dāng)t=

9

20

或t=

21

20

時(shí)，

EF

EG

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)每等知識(shí)點(diǎn)，要注意（3）中，要分類討論，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．不要忽略掉任何一種情況．