Question

14．如圖，已知拋物線y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c和直線y₂=kx+h都經過A（1，0），B（-2，3）兩點．
（1）求拋物線y₁及直線y₂的解析式；根據圖象，寫出$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c≥kx+h的x的取值范圍．
（2）點P是拋物線上一動點，在直線AB的下方，當點P與點A、B圍成的△PAB的面積最大時，請求出P點坐標；
（3）拋物線上是否存在一點M，使△MAB的面積與△OAB相等？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線和直線均過點A、B，由待定系數(shù)法即可求出二者的解析式；
（2）尋找與直線AB平行的直線l，使l與拋物線相切于點P時，△PAB的面積，由△=0可求出直線l的解析式，代入即可求出P點的值；
（3）假設存在，由△MAB的面積與△OAB相等可知點M與點O到直線AB的距離相等，結合點到直線的距離即可求出點M的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c和直線y₂=kx+h都經過A（1，0），B（-2，3）兩點，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{3}+b+c}\\{3=\frac{4}{3}-2b+c}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0=k+h}\\{3=-2k+h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2}{3}}\\{c=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{h=1}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，直線的解析式為y₂=-x+1．
結合函數(shù)圖象可知：當x≤-2和x≥1時，拋物線圖象在直線上方，
故$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c≥kx+h的x的取值范圍為x≤-2或x≥1．
（2）設過點P并且與直線AB平行的直線l的解析式為y=-x+d，
當直線l與拋物線只有一個交點P時，△PAB的面積最大．
將y=-x+d代入到拋物線解析式y(tǒng)₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$中得：
-x+d=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，即x²+x+1-3d=0．
由方程只有一個根，故△=1²-4×（1-3d）=0，
解得：d=$\frac{1}{4}$，
當d=$\frac{1}{4}$時，方程x²+x+1-$\frac{3}{4}$=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$．
令x=-$\frac{1}{2}$，則y=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{4}$．
故點P的坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
（3）假設存在，設M點的坐標為（m，$\frac{1}{3}{m}^{2}$-$\frac{2}{3}$m+$\frac{1}{3}$），
直線AB的解析式為y₂=-x+1，即x+y₂-1=0，
∵△MAB的面積與△OAB相等，
∴點M與點O到直線AB的距離相等，
由點到直線的距離可知：$\frac{|m+\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
當m＜-2時，有m²+m-5=0，
解得：m=$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$（舍去），
此時點M的坐標為（$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）；
當-2≤m≤1時，有m²+m+1=0，
方程無解；
當m＞1時，有m²+m-5=0，
解得：m=$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$（舍去）或m=$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，
此時點M的坐標為（$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）．
綜上可知：拋物線上存在一點M，使△MAB的面積與△OAB相等，點M的坐標為（$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直線與拋物線相切以及點到直線的距離，解題的關鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用根的判別式解決相切問題；（3）由點M與點O到直線AB的距離相等得出關于m的一元二次方程．本題屬于中檔題，有點難度，（1）難度不大；（2）需借助直線與拋物線相切來尋找最值；（3）由同底三角形面積相等得出等高．