【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(2,0)、B(﹣4,0),與y軸交于點D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接BD,點P在拋物線的對稱軸上,以Q為平面內(nèi)一點,四邊形PBQD能否成為矩形?若能,請求出點P的坐標;若不能,請說明理由;

(3)在拋物線上有一點M,過點M、A的直線MA交y軸于點C,連接BC,若∠MBO=∠BCO,請直接寫出點M的坐標.

【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)滿足條件的P的坐標為(﹣1,﹣2+)或(﹣1.﹣2﹣);(3)滿足條件的點M坐標(﹣2,﹣4)或(0,﹣4)或(﹣1+,4).

【解析】(1)、利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)、分BD為矩形的邊和BD為矩形的對角線兩種情況分別求出點P的坐標;(3)、設Mm,m2+m4),設直線AM的解析式為y=kx+b,然后求出直線AM的解析式,然后分點M所在的象限,證明出MNB和△BOC相似,從而分別得出點M的坐標.

(1)、由題意,解得,∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣4.

(2)如圖1中,當BD為矩形的邊時,∵直線BD的解析式為y=﹣x﹣4,

∴直線BP的解析式為y=x=4,直線 DP′的解析式為y=x﹣4,

可得P(﹣1,3),P′(﹣1,﹣5).

BD為矩形的對角線時,設P(﹣1,m),BD的中點N(﹣2,﹣2),由BN=P″N,

可得12+(m+2)2=(22, 解得m=﹣2+或﹣2﹣,

∴P″(﹣1,﹣2+),或(﹣1.﹣2﹣),

∴要使四邊形PBQD能成為矩形,滿足條件的點P坐標為(﹣1,﹣2+)或(﹣1.﹣2﹣).

綜上所述,滿足條件的P的坐標為(﹣1,﹣2+)或(﹣1.﹣2﹣).

(3)設M(m,m2+m﹣4),設直線AM的解析式為y=kx+b,則有,

解得,∴直線AM的解析式為y=x﹣m﹣4,∴C(0,﹣m﹣4).

①點M在第二象限顯然不可能,當點M在第三象限時,如圖2中,作MN⊥OBN.

∵∠MBN=∠BCO,∠MNB=∠BOC=90°,∴△MNB∽△BOC,∴

=,∴m=﹣20.∴M(﹣2,﹣4)或(0,﹣4).

②當點M在第一象限時,同法可得=,整理得:m2+2m﹣16=0,

∴m=﹣1+或﹣1﹣(舍棄),∴M(﹣1+,4),

③當點M在第四象限時,不存在,

綜上所述,滿足條件的點M坐標(﹣2,﹣4)或(0,﹣4)或(﹣1+,4).

練習冊系列答案
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