Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸上，且∠B=60°，AB=2，將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，當(dāng)AB與直線MN平行時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 先確定∠NMO=60°，再計(jì)算出OA=$\sqrt{3}$，然后利用AB與直線MN平行畫出圖形，直線AB交x軸于點(diǎn)C，作AH⊥x軸于H，則∠OCB=60°，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求AH、OH，從而確定A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$，則N（0，5$\sqrt{3}$），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$=0，解得x=5，則M（5，0），
在Rt△OMN中，∵tan∠NMO=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，
∴∠NMO=60°，
在Rt△ABO中，∵∠B=60°，AB=2，
∴∠OAB=30°，
∴OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∵AB與直線MN平行，
∴直線AB與x軸的夾角為60°，
如圖1，直線AB交x軸于點(diǎn)C，作AH⊥x軸于H，則∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°-30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
如圖2，直線AB交x軸于點(diǎn)C，作AH⊥x軸于H，則∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°-30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解決本題的關(guān)鍵是正確畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．