Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$有交點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)B（-2，-2），tan∠AOX=4．
（1）求k的值以及拋物線的解析式；
（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo)（注：這里E，O，C與A，O，B分別為對應(yīng)點(diǎn)）．
（3）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從O點(diǎn)出發(fā)（含O點(diǎn)）沿著拋物線向左運(yùn)動(dòng)，已知在此過程中，△ABP的面積S_△ABP恰好有兩次取到值m，請直接寫出m的取值范圍0＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$（P與B重合時(shí)規(guī)定S_△ABP=0）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可以確定K，根據(jù)tan∠AOx=4，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定a，b．
（2）根據(jù)△EOC∽△AOB得到：∠COE₁=∠AOB，根據(jù)CO=2OB，∠BOC=90°得到∠AOE₁=90°，OE₁=2OA，可以求出E₁的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求出E₂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）首先畫出滿足條件的點(diǎn)P所在的位置，再確定m的范圍．

解答 解：（1）∵B（-2，-2）在雙曲線上，
∴k=-2×（-2）=4，
∵tan∠AOx=4，
∴可設(shè)A（m，4m），
∵A在雙曲線上
∴m-4m=4，
∴m=1，m=-1（舍去），
∴A（1，4），
∵拋物線過點(diǎn)A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b•（-2）=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$
解得a=1，b=3，
∴k=4，y=x²+3x．
（2）如圖，設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D．
由（1）知，拋物線的解析式是y=x²+3x，
∵AC∥x軸
∴C（-4，4），OC=4$\sqrt{2}$．
又∵OB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=2．
∵∠COD=∠BOD=45°，
∴∠COB=90，
要使得△BOA∽△COE，必須∠BOA=∠COE，則點(diǎn)E在直線CO的兩旁．
①將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，得到△B′OA′，此時(shí)，點(diǎn)B′（-2，2）是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A′（4，-1），
延長OA′至點(diǎn)E₁，使得OE₁=2OA′，
連接CE₁，此時(shí)E₁（8，-2）．
②取點(diǎn)E₁關(guān)于直線OC的對稱點(diǎn)E₂（2，-8）．
（3）過點(diǎn)O作直線AB的平行線交拋物線于N，O₁是點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，
過O₁作直線AB的平行線交拋物線于M，點(diǎn)K是直線OB下方上的點(diǎn)，且△KAB面積最大，
易求S_△ABO=3，設(shè)K（m，m²+3m），
∵直線AB：y=2X+2，過點(diǎn)K作y軸的平行線交直線AB于H，
∴S_△ABK=S_△HKB+S_△KHA=$\frac{1}{2}×3×（2m+2-{m}^{2}-3m）$=-$\frac{3}{2}（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，
∴S_{△ABK最大值}=$\frac{27}{8}$，
當(dāng)點(diǎn)P在拋物線BN（不包括端點(diǎn)）段運(yùn)動(dòng)時(shí)，在拋物線BM段上總能找到一個(gè)點(diǎn)P′，使得S_△PAB=S_△P′AB，此時(shí)m的值為O＜m＜3，
在拋物線BM段上方總能找到一個(gè)點(diǎn)K′，使得S_△K′AB=S_△KAB，此時(shí)m=$\frac{27}{8}$，
綜上所述：O＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、平行線的性質(zhì)、面積最值問題等重要知識(shí)點(diǎn)．第（3）問是本題的難點(diǎn)，其中的要點(diǎn)是通過畫平行線確定點(diǎn)P的位置，再確定m的范圍．