Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如圖，當(dāng)A′B′邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊A′C與AB所在直線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D作DE∥A′B′交CB′邊于點(diǎn)E，連接BE．
①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，設(shè)AD=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式及定義域；
②當(dāng)時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）．根據(jù)平行線DE∥A'B'分線段成比例知、及由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AD=x，BD=x-2．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋轉(zhuǎn)可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC為等邊三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）．
∵DE∥A'B'，
∴．（1分）
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，（1分）
∴．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴．
∵∠A=30°
∴=．（1分）
∴（0＜x＜2）（2分）
②當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此時(shí)，．
當(dāng)S=時(shí)，．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．（2分）
當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上（如圖）．
仍設(shè)AD=x，則BD=x-2，∠DBE=90°，．
當(dāng)S=時(shí)，．
整理，得x²-2x-1=0．
解得，（負(fù)值，舍去）．
即．（2分）
綜上所述：AD=1或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識(shí)．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分類(lèi)討論．