Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為C．

（1）直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的函數(shù)解析式；

（3）D為直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)；

①連接DO交AB于點(diǎn)E，若DE：OE=3：4，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)D，使得∠DBA的度數(shù)恰好是∠BAC度數(shù)2倍，如果存在，求點(diǎn)D 的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．

【解析】

（1）在中由求出對應(yīng)的x的值，由x=0求出對應(yīng)的y的值即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）把（1）中所求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入中列出方程組，解方程組即可求得b、c的值，從而可得二次函數(shù)的解析式；

（3）①如圖，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AB于點(diǎn)F，連接OD交AB于點(diǎn)E，由此易得△DFE∽OBE，這樣設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和DE：OE=3:4，即可列出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此時∠DAB =2∠BAC=∠HAB，則BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立構(gòu)成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解：（1）在中，由可得：，解得：；

由可得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2）；

（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2）代入得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為：；

（3）①過點(diǎn)D作x軸的垂線交AB于點(diǎn)F，

設(shè)點(diǎn)D，F(xiàn),

連接DO交AB于點(diǎn)E，△DFE∽OBE，

因為DE：OE=3：4，

所以FD：BO=3：4，

即：FD=BO= ,

所以,

解之得： m1=-1，m2=-3 ，

∴D的坐標(biāo)為（-1，3）或（-3，-2）；

②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，

∴∠BAH=2∠BAC，

若∠DBA=2∠BAC，則∠DBA=∠BAH，

∴AH//DB，

由點(diǎn)A的坐標(biāo)（-4，0）和點(diǎn)H的坐標(biāo)（0，2）求得直線AH的解析式為：，

∴直線DB的解析式是：,

將：聯(lián)立可得方程組：，

解得： ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（-2，-3）．