Question

如圖所示，AB，AC與⊙O相切于點B，C，∠A=50°，點P是圓上異于B，C的一動點，則∠BPC的度數(shù)是________．

Answer 1

65°或115°
分析：此題分為兩種情況，如圖p點的位置有兩個，所以∠BPC可能是銳角，也有可能是鈍角，分別連接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各點
（1）當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP₁C時，根據(jù)AB，AC與⊙O相切，結(jié)合已知條件，在△ABC中，即可得出圓心角∠COB的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角為圓心角的一半，即可得出∠BP₁C的度數(shù)（2）如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP₂C時，根據(jù)⊙O的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得出∠BP₂C的度數(shù)．
解答：分別連接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各點
（1）當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP₁C時：
∵AB，AC與⊙O相切于點B，C兩點
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∵∠A=50°，
∴在△ABC中，∠COB=130°，
∵在⊙O中，∠BP₁C為圓周角，
∴∠BP₁C=65°，
（2）如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP₂C時
∵四邊形BP₁CP₂為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∵∠BP₁C=65°，
∴∠BP₂C=115°
點評：本題考查圓的切線性質(zhì)，在解題過程中還要注意對圓的內(nèi)接四邊形、圓周角、圓心角的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用