Question

如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F．
（1）求證：△OEF是等腰直角三角形．
（2）若AE=4，CF=3，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EOB=∠FOC，然后利用“角邊角”證明△BEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OE=OF，從而得證；
（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=CF，再根據(jù)正方形的四條邊都相等求出AE=BF，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠FOC+∠BOF=90°，
又∵DE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BEO和△CFO中，

∠ABO=∠ACF OB=OC ∠EOB=∠FOC

，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解∵△BEO≌△CFO（已證），
∴BE=CF=3，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB-BE=BC-CF，
即AE=BF=4，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．