在△ABC中,ABAC,∠BACα,點DBC上一動點(不與B、C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達AE位置,連接DE、CE,設(shè)∠BCEβ
(1)如圖1,若α=90°,求β的大。

(2)如圖2,當點D在線段BC上運動時,試探究αβ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)當點D在線段BC的反向延長線上運動時(畫出圖形),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明,若不成立,請直接寫出αβ之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)90°(2)α+β=180°,證明見解析(3)不成立,α=β
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵∠DAB=α-∠DAC,∠EAC=α-∠DAC,
∴∠EAC=∠DAB.
又AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC.
∴∠ECA=∠B=45°.
∴β=∠ACB+ECA=90°.
(2)α+β=180°.
證明:∵∠BAC=∠DAE=α,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
又AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE.
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∴∠B+∠ACB=β.
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°.
(3)當點D在線段BC的反向延長線上運動時,(2)中的結(jié)論不能成立,此時:α=β成立.
其理由如下:
類似(2)可證∴△DAB≌△ECA,
∴∠DBA=∠ECA,
又由三角形外角性質(zhì)有∠DBA=α+∠DCA,
而∠ACE=β+∠DCA,
∴α=β.
(1)先利用邊角邊定理證明△DAB與△EAC全等,再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ECA=∠B=45°,β的值即可求出;
(2)方法同(1)證出∠ECA=∠B,所以∠B+∠ACB=β,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到α+β=180°;
(3)方法同(2)證出∠ECA=∠ABD,所以α+∠DCA=β+∠DCA,所以α=β.
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A.
1個
B.
2個
C.
3個
D.
4個
 

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