Question

【題目】已知開口向下的拋物線y=ax2-2ax+2與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線BD與x軸交于點(diǎn)M，直線AB與直線OD交于點(diǎn)N．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示).

(3)當(dāng)點(diǎn)N在第一象限，且∠OMB=∠ONA時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）D（2,2）；（2）；（3）

【解析】

(1)令x=0求出A的坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)、對(duì)稱軸直線，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，確定D點(diǎn)坐標(biāo).

(2)根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，令y=0，即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，求直線OD的解析式，進(jìn)而求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到ON的長(zhǎng).過(guò)A點(diǎn)作AE⊥OD，可證△AOE為等腰直角三角形，根據(jù)OA=2，可求得AE、OE的長(zhǎng)，表示出EN的長(zhǎng).根據(jù)tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入數(shù)值即可求得a的值.

（1）當(dāng)x=0時(shí)，，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）

∵

∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1,2-a），對(duì)稱軸為x= 1，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2）

（2）設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b

把B（1,2-a）D（2，2）代入得：

，解得：

∴直線BD的解析式為：y=ax+2-2a

當(dāng)y=0時(shí)，ax+2-2a=0，解得：x=

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：

（3）由D(2，2)可得：直線OD解析式為：y=x

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得：

解得：

∴直線AB的解析式為y= -ax+2

聯(lián)立成方程組： ，解得：

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（）

ON=（）

過(guò)A點(diǎn)作AE⊥OD于E點(diǎn)，則△AOE為等腰直角三角形.

∵OA=2

∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=)

∵M，C(1,0)， B（1,2-a）

∴MC=，BE=2-a

∵∠OMB=∠ONA

∴tan∠OMB=tan∠ONA

∴，即

解得：a=或

∵拋物線開口向下，故a<0，

∴ a=舍去，