Question

如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點(diǎn)D，取CB的中點(diǎn)E，DE的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的長；
（3）如圖2，連接OD，AE相交于點(diǎn)F，若tan∠C=2，求

AF

FE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先證明△ODE≌△OBE，即可得出∠ODE=∠OBE=90°，得出答案即可；
（2）先證明△ODB是等邊三角形，即可得出∠CBD=30°則CD=

1

2

BC，BC=

1

2

AC，求出CD的長進(jìn)而得出BC的長；
（3）利用tan∠C=2，∠CDB=90°，則

BD

CD

=2，進(jìn)而設(shè)CD=a，BD=2a，AD=4a，則AC=5a，由

AF

FE

=

AD

OE

，求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接BD，OD，OE．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∵E是BC中點(diǎn)，
∴DE=EC=EB．
在△ODE和△OBE中

OD=OB OE=OE DE=BE

，
∴△ODE≌△OBE（SSS）．
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD．
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠DOB=60°．
∴∠A=30°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°．
∴∠CBD=30°．
∴CD=

1

2

BC，BC=

1

2

AC．
設(shè)CD=x，BC=2x，
∵AD=6，
∴2x=

1

2

(6+x)．
∴x=2．
∴BC=4．

（3）解：如圖2，連接BD，OE．
∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴

BD

CD

=2．
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴

AD

BD

=2．
設(shè)CD=a，BD=2a，AD=4a，
∴AC=5a．
∵O是AB中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn)，
∴EO∥AC，OE=

1

2

AC=

5

2

a．
∴

AF

FE

=

AD

OE

，
∴

AF

FE

=

4a

5 2 a

=

8

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出

AF

FE

=

AD

OE

是解題關(guān)鍵．