Question

【題目】如圖：

(1)（問題背景）如圖1，等腰△ABC，AB=AC,∠BAC=120°，則=________.

(2)（遷移應用）如圖2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點在同-條直線上，連結(jié)BD．求線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系式；

(3)（拓展延伸）如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點C關(guān)于BM的對稱點E，連結(jié)AE并延長交BM于點F，連結(jié)CE, CF．若AE=4，CE=1．求BF的長.

Answer 1

【答案】(1)；(2)CD=AD+BD；(3)2.

【解析】

問題背景：作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)余弦的定義計算即可；

遷移應用：證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，由問題背景得到CD、AD、BD的關(guān)系；

拓展延伸：作BG⊥AE于G，連接BE．由BM垂直平分CE，可得∠EBF=∠CBF，再根據(jù)AB=BE，BG⊥AE，可得∠ABG=∠EBG，進而得出∠GBF=∠ABC=60°，在四邊形BCEG中，求得∠CEG=120°，得到∠CEF=60°，依據(jù)FE=FC，得到△EFC是等邊三角形，由AE=4，EC=EF=1，可得AG=GE=2，FG=3，再根據(jù)在Rt△BGF中，∠BFG=30°，即可得到BF．

問題背景：如圖1，作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴BD=CD，∠ABC=30°，

cosB=，即，

∴BC=AB，即，

故答案為；

遷移應用：如圖2，∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，

由問題背景可知，DE=AD，

∴CD=DE+EC=AD+BD；

拓展延伸：證明：如圖3，作BG⊥AE于G，連接BE，

∵E、C關(guān)于BM對稱，

∴BC=BE，FE=FC，BF⊥CE，

∴∠EBF=∠CBF，

∵在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，

∴AB=BE，又BG⊥AE，

∴∠ABG=∠EBG，

∴∠EBG+∠EBF=∠ABC=60°，

∴四邊形BNEG中，∠CEG=360°-90°-90°-60°=120°，

∴∠CEF=60°，又FE=FC，

∴△EFC是等邊三角形，

∵AE=4，EC=EF=1，

∴AG=GE=2，FG=3，

在Rt△BGF中，∠BFG=30°，

∴BF==2．