Question

5．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且DE=2$\sqrt{2}$，則AC的長是（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)和已知條件∠EDC：∠EDA=1：3，可得∠COD=45°，證出△ODE是等腰直角三角形，OE=DE=2$\sqrt{2}$，再由勾股定理求出OD，得出OA，即可得出AC的長度．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD=OA，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∵∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴△ODE是等腰直角三角形，OE=DE=2$\sqrt{2}$，
∴OE²+DE²=OD²，
∴2DE²=OD²=16，
∴OD=4，
∴OA=OD=4，
∴AC=2OA=8；
故選：B．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出△ODE是等腰直角三角形是解決問題的突破口．