Question

在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的，有如下結論：①AC邊的長可以等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于；③折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等，其中，正確結論有________個．

Answer 1

3
分析：①假設AC=a成立，根據等腰三角形的性質及圖形折疊的性質可求出四邊形AB₁DC為平行四邊形，再根據平行四邊形的性質及三角形的面積公式求解；
②假設S_△ABC=成立，再由△ABC的面積公式可求出AC=a，根據三角形的三邊關系可求出∠B=60°，由平行四邊形的判定定理可求出四邊形AB₂CD為平行四邊形，再根據平行四邊形的性質及三角形的面積公式求解；
③綜合①②可知，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等．
解答：解：對于結論①，若AC=a成立，如圖（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，而∠CDB₁=∠CDB
∴∠B₁DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B₁D，
∵B₁D=BD=a=AC，
∴四邊形AB₁DC為平行四邊形．
∴S_△CED=S_△ACD=S_△ABC，滿足條件，即AC的長可以等于a，故①正確；
對于結論②，若S_△ABC=，
∵S_△ABC=AB•AC•sin∠CAB，
∴AC=a，
∵AC=a，∠B=60°，如圖（二），
∴∠CDB=60°=∠DCB₂，
∴AD∥B₂C，
又∵B₂C=BC=a=AD，
∴四邊形AB₂CD為平行四邊形，
∴S_△CFD=S_△ACD=S_△ABC，滿足條件，即S_△ABC的值可以等于，故②正確；
對于結論③，由平行四邊形AB₁CD或平行四邊形AB₂CD，顯然成立，故③正確．
點評：本題考查的是翻折變換的性質及平行四邊形的性質，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等的知識是解答此題的關鍵．