Question

已知直線l∥BC，點A在l上，AD平分∠BAC，CD⊥AD，記∠ACD=∠1，∠BCD=∠2．
（1）當(dāng)點A沿著直線l向左移動時，D點有可能落在平面上的什么位置？請畫出圖形．
（2）針對第（1）問的所有情況，找出∠1、∠2與∠B之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）當(dāng)點A沿著直線l向左移動時，如圖，①在△ABC的內(nèi)部，②當(dāng)AB=AC時，在BC邊上；③在△ABC外部，即BC下方．
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，即可表示出∠1、∠2與∠B之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）如圖，①在△ABC的內(nèi)部，
②當(dāng)AB=AC時，在BC邊上；
③在△ABC外部，即BC下方．

（2）如圖①，∵CD⊥AD，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×（90°-∠1）=180°-2∠1，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2，
∴∠B+∠1+∠2+180°-2∠1=180°，
∴∠B=∠1-∠2；
如圖②，此時∠BCD=∠2=0°，∠ADC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-∠1，
∴∠B=90°-∠BAD=∠1，
∴∠B=∠1；
如圖③，∵CD⊥AD，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×（90°-∠1）=180°-2∠1，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB=∠ACD-∠BCD=∠1-∠2，
∴∠B+∠1-∠2+180°-2∠1=180°，
∴∠B=∠1+∠2．

點評：此題考查了角平分線的定義、垂線的定義以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．