Question

在Rt△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，tanA、tanB是關(guān)于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的兩個實數(shù)根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，且a＞b，求a、b．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為三角形為直角三角形，并且tanA、tanB是關(guān)于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；（2）已知一條邊c=10，且a＞b，根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA•tanB=1．
∴tanA•tanB=12k²-37k+26=1，
即12k²-37k+25=0，可得：k₁=，k₂=1．
又當k=1時，原方程為x²-x+1=0，其判別式△＜0，舍去．
∴k=．
（2）當k=時，原方程為：．
又tanA+tanB=，∴==，
∴a²+b²=c²=100．∴ab=48      ①
而a²+b²=（a+b）²-2ab=100，且a+b＞0．
∴a+b=14．②
由①②得：或者，
又a＞b，
則a=8，b=6．
點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及互余兩角函數(shù)的三角關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．