Question

問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積，這種方法叫做構圖法．
（1）則△ABC的面積為______．
（2）如圖△PQR，以三邊向形外作正方形，正方形的面積分別為10、13、17，請根據前面正方形網格求面積的方法求△PQR的面積為______．
（3）在圖②中畫△DEF，使DE、EF、DF的長分別為、、，判斷三角形的形狀，說明理由．

Answer 1

解：（1）S_△ABC=3×3-×1×2-×2×3-×1×3=；

（2）建立起網格，如圖（1）所示，

則可得：S_△ABC=3×4-×1×4-×1×3-×2×3=；

（3）如圖所示：

∵DE=，EF=2，DF=，
∴DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形．
分析：（1）根據題目設置的問題背景，結合圖形進行計算即可；
（2）先建立網格，然后將△PQR，建立在網格上，利用構圖法求解即可；
（3）根據勾股定理，找到DE、EF、DF的長分別為、、，由勾股定理的逆定理可判斷△DEF是直角三角形．
點評：本題考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關鍵是仔細理解問題背景，構圖法求三角形的面積是經常用到的，同學們注意仔細掌握．