Question

12．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，AE⊥AB，AE=BD，連接DE、DC
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）猜想CD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠1=∠B，從而可利用SAS判定△ACE≌△BCD．
（2）根據(jù)已知可猜想CE=CD，CE⊥CD，由第一問(wèn)可得CE=CD，∠3=∠4，根據(jù)等角的性質(zhì)可推出∠ECD=90°，從而得到答案．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠2=45°．
∵AE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠1=45°．
∴∠1=∠B．
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠1=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）猜想：CE=CD，CE⊥CD；理由說(shuō)明：
解：∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，∠3=∠4．
∵∠4+∠5=90°，
∴∠3+∠5=90°．
即∠ECD=90°．
∴CE⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的判定的綜合運(yùn)用．