Question

12．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為AB邊上一點，且不與A，B兩點重合，AE⊥AB，AE=BD，連接DE、DC
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）猜想CD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠1=∠B，從而可利用SAS判定△ACE≌△BCD．
（2）根據(jù)已知可猜想CE=CD，CE⊥CD，由第一問可得CE=CD，∠3=∠4，根據(jù)等角的性質(zhì)可推出∠ECD=90°，從而得到答案．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠2=45°．
∵AE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠1=45°．
∴∠1=∠B．
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠1=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）猜想：CE=CD，CE⊥CD；理由說明：
解：∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，∠3=∠4．
∵∠4+∠5=90°，
∴∠3+∠5=90°．
即∠ECD=90°．
∴CE⊥CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及學生對全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的判定的綜合運用．