Question

3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F恰好為DC的中點，DG⊥AE，垂足為G．若DG=3，則AE的邊長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由AAS證明ADF≌△ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．

解答 解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點，
∴DF=CF，
∴AD=DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
則AF=2AG=8，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}\\{∠ADF=∠ECF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=2×8=16．
故選D．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．