Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，∠ACB=90°，OA=$\sqrt{3}$，拋物線y=ax²-ax-a經(jīng)過點(diǎn)B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)是否在拋物線上？請說明理由；
（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)ED，試說明ED∥AC的理由；
（4）點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OC運(yùn)動，到點(diǎn)C停止，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BF⊥AP于F，請直接寫出點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求出a的值即可；
（2）先求出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線進(jìn)行判斷即可；
（3）聯(lián)立拋物線和直線AB求出點(diǎn)E坐標(biāo)，證明∠ADE=∠CAO即可；
（4）判斷點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡，求出根據(jù)弧長公式求出弧長即可．

解答 解：（1）拋物線y=ax²-ax-a經(jīng)過點(diǎn)B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4a-2a-a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）如圖1，
過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為M，
設(shè)OC=m，則CM=2-m，
由∠ACB=90°，OA⊥OC，BM⊥CM，易證△AOC∽△CMB，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{CM}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{m}=\frac{2-m}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
解得：m=1，
∴C（1，0），
運(yùn)用兩點(diǎn)法可求直線AC：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，
延長BC至點(diǎn) B′，使得CB′=CB，過點(diǎn)B′作x軸的垂線，垂足為N，
易求CN=CM=1，NB′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為：（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；當(dāng)x=0時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在拋物線上；

（3）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥y軸，垂足為H，
運(yùn)用兩點(diǎn)法可求直線AB的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：x=-2，或x=2（舍去），
此時y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=2，OA=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；當(dāng)x=0時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴HD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ADE=tan∠CAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADE=∠CAO，
∴ED∥AC；

（4）$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$
作出簡化圖如圖3，作以AB為直徑的圓Q，連接QC，
由題意可知，P從O到C對應(yīng)點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以AB為直徑的圓上的弧GC，
由A（0，$\sqrt{3}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）可求圓心Q（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），QC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵C（1，0），
可求∠GQC=60°，
所以弧GC=$\frac{60×π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$，

點(diǎn)評 此題考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線和直線的解析式，會求拋物線和直線的交點(diǎn)，會求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，能根據(jù)題意判斷點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．