Question

17．探索題：
（x-1）（x+1）=x²-1                
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1      
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
（1）根據(jù)以上規(guī)律，求（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）
（2）判斷2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的個位數(shù)是幾？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題干所給出的例子可知（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）給等式乘以（2-1）從而可知2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=2²⁰¹⁴-1，然后找出2ⁿ的尾數(shù)規(guī)律從而得到答案．

解答 解：（1）由題意可知：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1
（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=（2-1）（2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁴-1，
2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64…
2014÷4=503…2．
∴2²⁰¹⁴的尾數(shù)是4．
4-1=3．
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的個位數(shù)是3．

點評 本題主要考查的是平方差公式的應(yīng)用，找出2ⁿ的尾數(shù)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．