(1)證明:
連接OA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵DA平分∠EDB,
∴∠EDA=∠ODA,
∴∠OAD=∠EDA,
∴OA∥CE,
∵AE⊥CD,
∴OA⊥AE,
∵OA是⊙O的半徑,
∴AE是⊙O的切線.
(2)解:∵BD是⊙O的直徑,
∴∠BCD=∠BAD=90°,
∵∠DBC=30°,
∴∠CDB=60°,
∴∠EDA=∠ADB=
(180°-60°)=60°,
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠EAD=30°,
∵DE=1cm,
∴AD=2DE=2cm,
∵∠BAD=90°,∠ADB=60°,
∴∠ABD=30°,
∴BD=2AD=4cm,
答:BD的長是4cm.
(3)解:設DE=a,則CD=3a,BC=4a,
由勾股定理得:BD=5a,
∵∠AED=∠BAD=90°,∠EAD=∠ABD,
∴△EAD∽△ABD,
∴
=
,
即
=
,
解得:a=
,
BD=5a=5
.
答:BD的長是5
.
分析:(1)連接OA,推出∠OAD=∠ODA=∠EDA,推出OA∥CD,推出OA⊥AE,即可得出答案;
(2)求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°,求出∠EAD=∠ABD=30°,求出AD,即可求出BD;
(3)設DE=a,則CD=3a,BC=4a,求出BD=5a,證△EAD∽△ABD,得出
=
,代入求出a即可.
點評:本題主要考查了切線的性質和判定,相似三角形的性質和判定,三角形的內角和定理,含30度角的直徑三角形,勾股定理,等腰三角形等知識點的應用,主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力,題目綜合性比較強,有一定的難度.